Рубрика про любопытные истории из мира науки, техники и кино. Сегодня — про то, как загадка 240-летней давности, из-за которой большинство иногда голосует само против себя, получила точную геометрическую форму: трое математиков доказали, что цикл голосования устроен как бутылка Клейна, поверхность без внутренней и внешней стороны, — и из этой формы теорема Эрроу о невозможности идеальных выборов выросла заново, уже как утверждение о геометрии.
26 октября Quanta Magazine рассказал о работе Ори Ливсона (Университет Сиднея), Михаила Прокопенко и Сиддхарты Притама (Математический институт в Ченнаи): парадокс Кондорсе — древнейшая «неисправность» правила большинства — получил полную топологическую модель, и модель эта оказалась бутылкой Клейна. Свежесть здесь даже не в самом факте, а в жанре: теорему Эрроу, главный «провальный» результат теории социального выбора, обычно пересказывают списком аксиом, после которого внимание читателя заканчивается. Здесь невозможность впервые взята как предмет: у неё есть обода, направление обхода и строго определённый способ склейки.
Неочевидная сторона: привычная логика «результаты подсчитаны честно — значит, всё в порядке» не переживает встречи с топологией. В этой истории бюллетени могут быть сколь угодно честными, урна — прозрачной, а ответ всё равно будет ходить по кругу, потому что у самого пространства предпочтений нет согласованной стороны. Плюс сюжетная рамка уровня греческой трагедии: человек, положивший жизнь на арифметику справедливости, погиб от машины террора, которую сам же арифметизировал.
В 1785 году маркиз Мари Жан Антуан Никола де Кондорсе опубликовал «Эссе о применении анализа к вероятности решений большинства». Он был секретарём Французской академии наук и хотел одного: честной процедуры избрания новых членов. Из этой вполне кабинетной задачи выросла находка, пережившая и академию, и саму Францию.
Возьмите трёх избирателей и трёх кандидатов. Первый ранжирует их Алиса, Боб, Кэрол; второй — Боб, Кэрол, Алиса; третий — Кэрол, Алиса, Боб. Теперь сравнивайте кандидатов попарно, как происходит в любом втором туре. Алиса бьёт Боба: за неё первый и третий. Боб бьёт Кэрол: за него первый и второй. Кэрол бьёт Алису: за неё второй и третий. Каждый бюллетень абсолютно разумен, каждый подсчёт безупречен — а результат идёт по кругу, и победителя попарных дуэлей не существует вовсе. Это и есть парадокс Кондорсе.
Человек, его нашедший, — одна из самых щемящих фигур эпохи Просвещения. Математик, философ, экономист; он выступал за равные права женщин, публичное образование, отмену рабства. За это его называли «последним свидетелем» Просвещения. Революцию он встретил с энтузиазмом — тем горше финал: в 1793-м он критиковал якобинскую конституцию, Конвент вынес приказ об аресте, и 29 марта 1794 года его нашли мёртвым в тюремной камере, через два дня после задержания. Обстоятельства смерти спорны до сих пор — версии расходятся от истощения до самоубийства.
Ирония тут выстроена так, что изобретать её не нужно: Кондорсе верил, что рациональный анализ способен вычислить справедливое коллективное решение, — а в учебных программах политологических факультетов от этой веры осталось в основном доказательство того, что простое большинство иногда не выбирает ничего.
Скепсис по поводу мажоритарной арифметики легко усилить на примере попроще. Пусть на выборах за Алису отдали 35%, за Боба 34%, за Кэрол 31%. Победила Алиса. Но если сторонники Кэрол ставят Боба выше Алисы, то 65% избирателей предпочитали Боба. Все бюллетени посчитаны честно — вопрос в том, что вообще считать победой.
Кондорсе предложил критерий: настоящим победителем является тот, кто бьёт каждого соперника в дуэли один на один. Как показал его собственный парадокс, такого кандидата может не быть. Двести лет инженеры избирательных систем перебирали заплатки: вторые туры, ranked-choice, очковые схемы. Меняешь правило — меняется победитель, даже когда бюллетени те же самые.
В 1951 году экономист Кеннет Эрроу положил конец перебору заплаток. Он искал процедуру, которая агрегирует ранжировки избирателей в ранжировку общества и держится на трёх скромных требованиях: результат не диктует один человек; если все предпочитают Алису Бобу, то и общество так считает; относительный порядок Алисы и Боба не зависит от того, где в бюллетене стоит Кэрол. Плюс свобода: избиратели могут ранжировать как угодно. Приговор: при трёх и более альтернативах процедура, удовлетворяющая всем условиям сразу, не существует. «Воля народа довольно часто просто не существует», — резюмировал позднее оксфордский политолог Иэн Маклин. Смена избирательной системы меняет лишь то, какое из условий будет нарушено, а математика лишь сообщает, что нарушать придётся. Какое именно — уже не её вопрос; это вопрос ценностей.
Стандартные доказательства Эрроу алгебраичны: три страницы манипуляций с профилями, и готово. Идея посмотреть на выборы иначе пришла со стороны. В 1980 году математик и экономист Грасиэла Чичильниски (Колумбийский университет) опубликовала в Advances in Mathematics работу «Social choice and the topology of spaces of preferences» — первую систематическую попытку измерить пространство всех возможных предпочтений топологическими инструментами. В сноске статьи промелькнула догадка: парадокс Кондорсе, по всей видимости, — задача топологии.
Топология — раздел математики, где фигуры считаются одинаковыми, если одну можно непрерывно, без разрывов и склеек, деформировать в другую. Чашка и пончик для тополога — один предмет: у обоих ровно одна дырка. Вопрос «какой формы у парадокса Кондорсе пространство?» звучит экзотично, но задан профессионально: если у невозможности есть геометрия, её можно классифицировать, как классифицируют поверхности.
В 1993 году Юлий Баришников дал этой программе первую большую победу: статья «Unifying Impossibility Theorems: A Topological Approach» построила геометрическую модель бюллетеня и получила из неё новое доказательство теоремы Эрроу. Модель изящна до прозрачности. Один бюллетень с тремя кандидатами — треугольник: вершины отвечают трём попарным сравнениям. Бюллетеней, дающих различные ранжировки, ровно шесть; треугольники склеиваются по общим рёбрам в ленту, лента замыкается в цилиндр. Всё пространство мыслимых коллективных волеизъявлений — полая труба. Баришников прошёл мимо её ободов: вокруг одного края трубы предпочтения выстроены в цикл Алиса-Боб-Кэрол-Алиса, вокруг другого — в обратный. Обода и были парадоксом Кондорсе, но в его доказательстве они участия не принимали.
В апреле 2025 года Ори Ливсон, аспирант Сиднейского университета, вернулся к ободам. Его вопрос: циклы встречаются не только в выборах — правила «камень-ножницы-бумага» тоже цикличны, и никого это не смущает. Но в игре цикл допустим по условию, а в выборах транзитивность обязательна: если Алиса лучше Боба, а Боб лучше Кэрол, общество обязано ставить Алису выше Кэрол. Можно ли построить геометрическую модель, различающую эти два мира?
Ключевое наблюдение звучит почти легкомысленно. Всякий противоречивый цикл на трёх альтернативах говорит одно и то же: каждый кандидат одновременно лучше каждого — утверждение, одинаково абсурдное во всех вариациях. А в топологии, как формулирует Ливсон, «когда ты понял, что два объекта суть одно и то же, — ты можешь их склеить». Значит, обода цилиндра, на которых живут противоречивые циклы, надо склеить между собой. Осталось понять, как.
Лобовая склейка даёт бублик — тор. Красиво и бесполезно: при таком склеивании ребро, отвечающее порядку «Боб, Алиса, Кэрол», прилипает к ребру «Боб, Кэрол, Алиса», и модель начинает утверждать несовместимые вещи одновременно. Единственный допустимый вариант — склеить обода с перекрутом, развернув порядок предпочтений одного из них на пол-оборота. В работе доказано жёстче: иного способа нет, перекрут обязателен.
Здесь стоит притормозить и послушать, как звучит топология. Склеить кольцо бумаги с перекрутом — получится лента Мёбиуса: односторонняя поверхность с краем. Склеить таким образом трубу — получится бутылка Клейна: односторонняя поверхность совсем без края. Ходить по бутылке Клейна — значит, пройдя достаточно долгий путь, оказаться «на другой стороне», хотя другой стороны нет. В трёхмерном пространстве её приходится рисовать с самопересечением — уродливая стеклянная фигура, проходящая сквозь собственную стенку. В четырёхмерном измерении она замыкается без единого шва.
Смысл модели в точном морфизме. Каждый малый кусок бутылки Клейна совершенно нормален: у него есть две стороны, как у всякого куска поверхности. Но попытка глобально раскрасить бутылку в два цвета — «внутренность» и «наружность» — проваливается на всей поверхности сразу: локальный порядок сторон не собирается в глобальный. Ровно это происходит с голосованием: каждый бюллетень локально безупречен, но попытка собрать из них один глобальный порядок ломается о цикл. Разумность по кускам и бессмысленность целиком — одно и то же устройство в политике и в геометрии.
Свежая статья идёт дальше красивой картинки и раскладывает весь зоопарк на четыре поверхности. Если циклы допустимы и не реализованы — получается цилиндр. Если допустимы и реализованы — сфера. Если противоречивы и не реализованы — бутылка Клейна. Если противоречивы и реализованы — проективная плоскость. Диагностическое правило короткое: поверхность неориентируема тогда и только тогда, когда модель описывает противоречивые циклы. Топология самостоятельно отличает безобидную цикличность игры от фатальной цикличности выборов — различие, которое в текстах о парадоксе обычно смазано.
Финальный ход — переформулировка самой теоремы Эрроу. В работе доказывается: утверждение «не существует функции социального выбора, удовлетворяющей единогласию, независимости от посторонних альтернатив, отсутствию диктатора и неограниченной области определения» эквивалентно утверждению «не существует такой функции, у которой социальные выборы ориентируемы». Невозможность Эрроу оказалась теоремой о неориентируемости: желаешь сохранить все аксиомы — прими, что пространство коллективных предпочтений устроено как бутылка Клейна, и глобальной «стороны общества» на нём нет. Единственная лазейка — ограничить область: запретить избирателям приносить в урну профили, порождающие циклы. Но платить приходится тем, что такая система больше не агрегирует волю всех — только волю заранее отфильтрованных конфигураций.
Прикладной слой этой истории скромнее заголовков. Топология не предлагает новую избирательную систему и не спасает демократию; она показывает, что цена любого дизайна структурна. Систему можно строить на вторых турах, ранжированных бюллетенях или дуэлях Кондорсе — придётся лишь честно выбрать, какое из условий Эрроу жертвовать. Как заключает тот же Маклин, это «не математический спор, а спор о ценностях». Математика фиксирует прейскурант; выбирать тариф должны мы.
Мне в работе Ливсона и коллег нравится ещё одно — направление выстрела. Та же группа ранее сопоставила теорему Эрроу с первой теоремой Гёделя о неполноте: в этой параллели гёделевы предложения играют роль профилей, агрегирующихся в противоречивый цикл. Теперь у семейства «круговых» невозможностей — самоссылки, циклов предпочтений, неориентируемых поверхностей — появилась общая географическая карта, и вопрос «почему невозможности так похожи друг на друга» впервые стал формальным. Может статься, перед нами одно и то же препятствие, пойманное в разных дисциплинах.
А начало истории остаётся самым человечным в ней. Кондорсе умер в тюрьме революции, которую считал арифметическим продолжением разума, и не узнал, что оставил не вычислительную ошибку, а первый набросок карты местности, где «воля народа» не существует как объект. На отрисовку этой карты ушло 240 лет, четыре поверхности и одна бутылка, которую невозможно сшить без перекрута. А больше всего в этой истории приятно то, что перекрут — единственный честный способ склейки. Всё остальное оказалось бы тором с вшитой внутрь ложью.