В сентябрьском переводе на Хабре Джоэл Дэвид Хэмкинс разбирает игрушечный на первый взгляд конкурс: какое максимальное число можно задать одним твитом на 280 символов? Заполни все разряды девятками — получишь 10²⁸⁰−1. Построй факториальные башни — улетишь дальше. А затем выясняется, что судить такой конкурс без решения проблемы остановки невозможно, и финальная фраза статьи звучит как заявка целого подпольного спорта: «определимость не определима изнутри самого языка».
Меня зацепил финал этой гонки. Гуманитарная дисциплина «гугология» — состязание в назывании больших чисел — кончилась тройным тупиком: философским спором о том, существует ли чемпион вообще, машиной, которую никто не может понять, и стеной незнания, которая за десять лет сползла с восьми тысяч состояний до четырёхсот. Ниже — как до этого дошло.
В III веке до н. э. Архимед написал царю Сиракуз «Псаммит» — популяризаторский трактат против людей, считавших песок неисчислимым. Взяв мириаду (десять тысяч) как базу и космологию Аристарха, он оценил число песчинок, заполняющих Вселенную, в 10⁶³. Две тысячи лет этот результат держал планку. По иронической прикидке Скотта Ааронсона, 10⁶³ — самое большое число с ходовым американским названием: вигинтиллион.
Следующая смена парадигмы произошла только в XX веке, и её предвестником остаётся легенда о визире, придумавшем шахматы: одно зерно на первую клетку, два на вторую, удвоение до шестьдесят четвёртой. Наивный царь обещал награду, не заметив, что сумма равна 2⁶⁴−1 — около 18,4 квинтиллиона зёрен; по прикидке из эссе Ааронсона 1999 года, это мировая пшеница за 150 лет.
В 1928-м Вильгельм Аккерман сломал само понятие «потолка роста»: он построил вычислимую функцию, обгоняющую любую «примитивно рекурсивную». За этим стоит лестница операций — сложение, умножение, возведение в степень, тетрация, пентация и дальше по ступеням, — которую Дональд Кнут в 1976-м упаковал в стрелочную нотацию.
Классика жанра — число Грэма. Рональд Грэм в 1977-м передал Мартину Гарднеру для Scientific American оценку G = f⁶⁴(4), где f(n) = 3↑ⁿ3 — тройка с n стрелками на тройку. В 1980-м число попало в Книгу рекордов Гиннесса как самое большое, использованное в опубликованном математическом доказательстве. Цифр у него столько, что наблюдаемая Вселенная не вмещает даже их количество. При этом последние десять цифр известны точно: …2464195387 — число является степенью тройки, и хвост досчитывается алгоритмом. А теперь ирония: сама задача Грэма давно съёжилась. Лучшие известные границы сегодня — 13 ≤ N* ≤ N''. Рекордсмен оказался верхней оценкой проблемы, ответ которой может быть тринадцать.
Следующая ступень выросла из тьюринговского определения «вычислимого». В 1962 году Тибор Радо опубликовал в Bell System Technical Journal статью «On Non-Computable Functions» и определил BB(n): максимум шагов, который делает машина Тьюринга с n состояниями на пустой ленте, если она вообще останавливается. Первые значения скромные: BB(1)=1, BB(2)=6, BB(3)=21 (Лин и Радо, 1965), BB(4)=107 (Брейди, 1983).
Дальше начинается невообразимое. Машина-чемпион для пяти состояний найдена Хайнером Марксеном и Юргеном Бунтроком в 1989-м: она останавливается через 47 176 870 шагов. Доказать, что никто не остановится дольше, заняло ещё 35 лет — этим занимался открытый проект bbchallenge, перечисливший все сто миллионов пятисостоячных машин и разобравший каждую. В 2024-м участник mxdys опубликовал Coq-BB5, машинно-проверяемое доказательство в Rocq, и квест, тянувшийся с 1962 года, закрылся. Почти все неостанавливающиеся машины разобрали пять семейств автоматических «декайдеров»; тринадцать строптивых пришлось брать индивидуальными доказательствами.
BB(6) не решён до сих пор.
Лучшая нижняя граница (июнь 2025, снова mxdys) — больше, чем 2↑↑2↑↑2↑↑10: тетрационная башня, в показателе которой стоит ещё одна тетрационная башня. Для калибровки: 2↑↑5 = 2⁶⁵⁵³⁶, число с 19 729 цифрами. За BB гонятся не из спортивного азарта: знание точного BB(n) решает проблему остановки для всех машин с n состояниями.
Существует 27-состоячная машина, которая перебирает чётные числа и останавливается, найдя первое, непредставимое суммой двух простых. Знай мы BB(27), гипотеза Гольдбаха была бы закрыта — пусть само вычисление заняло бы больше, чем жизнь Вселенной. Значения Busy Beaver — сжатый каталог всей «финальной» математики: каждое Π₁-предложение в них зашито.
Самый знаменитый матч в этой дисциплине прошёл 26 января 2007 года в MIT, в рамках Independent Activities Period: философ Агустин Райо против философа из Принстона Адама Элги. Правила: ходы по очереди, выигрывает тот, кто последним записал валидное число; только конечные числа; запрет на семантический словарь — слова вида «называет», «относится к», «истинно о». Третий пункт решает всё: без него Элга выигрывал бы первым же ходом, написав «самое большое число, которое назвал Агустин, плюс один».
По собственному конспекту Райо, партия шла так. Райо записал тридцать-сорок единиц. Элга взял стиратель, стёр всё, кроме первых двух единиц, и достроил башню факториалов — уже 11!! даёт примерно 6×10²⁸⁶⁰⁷⁸¹⁷⁰.
Райо ответил BB(10¹⁰⁰): продуктивностью самой продуктивной машины Тьюринга не более чем с гуголом состояний. Дальше поехала лестница оракулов — BB₁, BB₂, вплоть до BB_θ(10¹⁰⁰), где θ — первый нерекурсивный ординал. Победный ход: «наименьшее число, большее любого конечного числа, именуемого выражением языка теории множеств первого порядка длиной до гугола символов». Слово «именуемого» запрещено правилами, поэтому Райо заменил его формализацией через Sat — формулу второго порядка, строящую несемантический суррогат понятия «именовано». Так родилось число Райо.
Популярные пересказы портят эту партию не по-детски. Свежий материал 2026 года уверенно сообщает, что первым ходом Элга написал «1», и приводит «значения BB» 1, 4, 6, 13, 4098 — это на самом деле значения Σ, второй функции Радо, которая считает единицы на финальной ленте, а не шаги. Первоисточник — собственный учебник Райо — перечёркивает обе детали. Мем о самой математической из дуэлей мутирует при копировании, как любой другой мем.
С самим числом интереснее. Райо честно пишет: философ, не принимающий платонизм в теории множеств, может не признать его определённым — любая перечислимая аксиоматизация языка второго порядка имеет неизоморфные модели, и в разных моделях чемпион может оказаться разным. Ааронсон в обзоре 2020 года формулирует жёстче: «я лично отказываюсь считать целочисленную последовательность хорошо определённой, если её значения могут зависеть от истинности аксиомы выбора или континуум-гипотезы». У гонки больших чисел есть чемпион, чей титул оспаривается на уровне философии науки.
Если BB растёт быстрее всего вычислимого, можно ли хотя бы узнать её значения? Здесь встречаются Гёдель и Радо. Для любой перечислимой и арифметически корректной теории T существует порог n, после которого T не может доказать значения BB(n). Причина проста: машину с k состояниями, которая перебирает доказательства T и останавливается при нахождении противоречия, легко построить. Доказав значение BB(k), теория тем самым доказала бы собственную консистентность — а это запрещено второй теоремой Гёделя.
Сколько значений нам всё-таки доступно? Долгое время ответ был «неизвестно: десять или миллион?». В 2016 году Адам Иедида и Ааронсон построили явную машину на 7918 состояний (в финальной версии статьи — 7910), которая останавливается тогда и только тогда, когда противоречива теория ZF плюс «стационарное свойство Рамсея». Для этого пришлось написать язык Laconic, интерпретатор примерно на 4000 состояний и «интроспективное кодирование», экономящее в пять раз. Стефан О'Риар упростил конструкцию до 1919, затем до 748 состояний — и убрал зависимость от результатов Харви Фридмана: его машина напрямую ищет противоречие в ZF.
Дальше пошёл конвейер: 745 (Рибель, бакалаврская работа, 2023), 643 и 636 (Риденаур, 2024), 588, 549 и 432 (Уэйд, июль–август 2025). Для арифметики Пеано стена стоит на 372 состояниях (Хаус, февраль 2026).
За десять лет граница доказуемой незнания сползла с восьми тысяч состояний до четырёхсот с половиной. Революции не случилось — инженеры попросту оптимизировали компиляцию теоремы Гёделя в машинные состояния. Ааронсон сравнивает это с проблемой происхождения жизни: тоже «вопрос констант», только вместо самовоспроизводящейся молекулы — самонепознаваемая программа.
Попутно выяснилось: гипотеза Гольдбаха упаковывается в 27 состояний (ник Code Golf Addict), гипотеза Римана — в 744 (Матииясевич, О'Риар, Ааронсон). Ценность в том, что BB(744) в рамках ZF не узнает никто и никогда. Оговорка честности: машины-рекордсмены последних лет формальной верификации не проходят, а у первопроходческой конструкции опорой служил результат Фридмана, которого в печати до сих пор нет.
Единственный фронт, где битва идёт прямо сейчас, — BB(6) — упёрся в задачу старше самого bbchallenge. 28 июня 2024 года участник mxdys выделил из «холдаутов» машину, прозванную Antihydra: криптид. Её поведение сводится к трём строкам: h = 8, c = 0; на каждом шаге c += 2, если h чётно, иначе c −= 1; затем h += h//2. Останов — при c = −1, то есть когда нечётных членов последовательности оказалось более чем вдвое больше чётных.
Математически это D(0) = 7, D(n+1) = ⌈3D(n)/2⌉, и вопрос остановки — вопрос о чётности членов этой последовательности. Та же математика управляет проблемой Z-чисел Малера 1968 года: как ведут себя дробные части чисел ξ·(3/2)ⁿ. Шестьдесят лет прогресса — ноль. Вероятностные аргументы говорят, что Antihydra «probviously» работает вечно: останавливаться у неё нет причин. Сообщество отлило настоящий кубок для того, кто решит проблему.
По состоянию на сентябрь 2026 года холдаутов в BB(6) — 855 с точностью до эквивалентности, все промоделированы до 10¹³ шагов, частичное доказательство медленно вызревает в Rocq. Краткость резюмировал Шон Слигоцки в заголовке своего разбора: BB(6) is hard.
Собрать картину воедино помогает парадокс Берри, который Бертран Рассел приписал библиотекарю G. G. Berry: фраза «наибольшее число, именуемое тысячей знаков» называет это число в восьмидесяти знаках — змея проглатывает собственный хвост. Тарский доказал, что истину нельзя определить изнутри языка, и в 2010 году Ааронсон спросил на MathOverflow, можно ли превзойти машины Тьюринга средствами теории множеств.
Ответ Хэмкинса: если ZFC консистентна, существуют её модели, в которых «коллекция определимых натуральных чисел» — не множество и даже не класс. Инструмент, которым измеряют чемпионов, сам проваливается в дыру.
Дэвид Симмонс подвёл итог типологией: конкурсы наибольшего числа бывают трёх видов — выигрывает тот, у кого больше бумаги; тот, кто верит в более сильные аксиомы; и философский, который нельзя судить вообще. Сам Райо в учебнике закрывает тему фразой: охота за числами превратилась в охоту за языками. А почему большие числа пугают, объясняет нейропсихолог Станислас Дехаене (Science, 1999): у мозга два механизма счёта — приближённая «числовая линия», общая у нас с животными, и точный символьный счёт, привязанный к языку. BB(1000) в числовой линии не помещается — там заканчивается эволюция и начинается наука.
Финальный ответ на вопрос из зацепки вышел суше обещанного. Самое большое число, которое можно уместить в твит, — это Busy Beaver машины на ~280 состояний, но записать его значение невозможно в принципе, а со сотни с лишним состояний и выше ответ доказуемо недоступен ZFC. Число выиграло бы любой конкурс, но приза никто не смог бы вручить. Зато в конторе bbchallenge лежит настоящий кубок — для того, кто докажет, что Antihydra не останавливается. Гонка за самое большое число на свете застряла на шести состояниях и маленькой машине, которая, скорее всего, просто идёт себе по ленте вечно.