Поводом стал разбор в ленте: автор полез в первоисточники Стэнли Милгрэма и пересчитал знаменитые «шесть рукопожатий». Разоблачительного пафоса там не оказалось, зато была деталь, которая зацепила крепче всего остального. В самом первом эксперименте, с которого началась вся эта история, из шестидесяти конвертов до цели дошли три. Отчёт об этом пылится в архиве и никогда не публиковался.
Отсюда и вопрос: кто, собственно, измерил шестёрку? Придумали её многие, а вот получил ли кто-нибудь это число в виде результата — вопрос открытый. Ни в одной таблице Милгрэма его нет, доверительного интервала у него тоже нет. Есть выдумка 1929 года, эксперимент 1967-го и пьеса 1990-го, и в этой цепочке «шесть» передаётся из рук в руки как слух. Зато измерено другое: сколько писем не дошло и через кого прошли те, что дошли. Там и обнаруживается сюжет поинтереснее.
В 1929 году венгерский сатирик Фридьеш Каринти выпустил сборник «Всё иначе», а в нём — короткий рассказ «Звенья цепи». Компания приятелей спорит, сжимается ли мир; один из них бьётся об заклад, что любого из полутора миллиардов жителей Земли можно достать, использовав не больше пяти человек, один из которых — личный знакомый.
Дальше идёт игра. Как связаться с Сельмой Лагерлёф, которая только что взяла Нобелевскую премию по литературе? Очень просто: награду ей вручал король Густав, король любит теннис и выходил на корт с Белой Керлингом, а Керлинга рассказчик знает лично. Два звена из пяти. Не хотите ли задачу посложнее?
Задачу посложнее он решает сам. Заклёпщик на конвейере Форда достаётся за четыре шага: рабочий знает мастера, мастер — самого Форда, Форд на короткой ноге с директором издательства Херста, а тот знаком с приятелем рассказчика. Затея эта чисто литературная, и главный сюжет рассказа — про человека, который подсел на игру, как подсаживаются на азартную: он раскладывает цепочки уже не только между людьми, но и между случайными предметами, «как игрок, спустивший всё и играющий на сушёные бобы».
И вот первая закавыка. Формулировка в рассказе допускает два прочтения: непонятно, входят ли те «пять человек» в счёт вместе с искомым. Речь может идти и о пяти звеньях, и о шести. Авторы работы 2011 года о расстояниях в графе Facebook честно отметили эту неоднозначность и добавили: сама фраза «шесть степеней разделения» закрепилась не благодаря Каринти, а после пьесы, которая появилась шестьдесят один год спустя.
Милгрэм занялся этой задачей не на пустом месте. Математическую модель малого мира ещё в 1950-е придумали Итиэль де Сола Пул из MIT и Манфред Кохен из IBM, но двадцать лет не решались публиковать: им казалось, что задачу они не «сломали». Милгрэм в Гарварде решил, что сломает, — и перевёл её в эксперимент.
В первом заходе участвовали жители Уичито, Канзас, а целью была жена студента богословской семинарии в Кембридже, Массачусетс. Участники получали конверт, и конверт был не абы какой: плотный синий картон, золотое тиснение «Harvard University», внутри список подписей, сделанных пером и разными чернилами. По виду — настоящий паспорт. Через четыре дня после рассылки преподаватель Епископальной богословской семинарии подошёл к цели прямо на улице: «Алиса, это вам». Она сначала решила, что ей вернули конверт, который заблудился и вообще не покидал Кембриджа. Цепочка оказалась такой: фермер, выращивавший пшеницу, → епископальный священник в его городке → преподаватель семинарии в Кембридже → цель. Два посредника, четыре дня.
Именно этот эпизод Милгрэм и опубликовал — с оговоркой, что это была одна из самых коротких цепочек, какие ему вообще приносили. Статистику первого исследования он не напечатал нигде: ни в популярной статье, ни в научной. Джудит Кляйнфельд, профессор Университета Аляски, нашла её позже — в архиве Милгрэма в Йельской библиотеке. В коробках 48 и 49 архива Милгрэма лежит недатированная рукопись «Results of Communication Project»: по газетному объявлению набрали шестьдесят стартовых, запустили пятьдесят цепочек, до цели дошли три конверта из шестидесяти — пять процентов — в среднем через восемь посредников, то есть через девять рукопожатий.
Второе исследование шло уже на жителях Небраски, и целью был биржевой брокер, работавший в Бостоне и живший в городке Шэрон. Здесь цифры есть. В популярной статье 1967 года: из 160 цепочек, стартовавших в Небраске, 44 дошли, 126 распались. В техническом отчёте Трэверса и Милгрэма 1969 года счёт другой, потому что другая база: 296 стартовых, 217 из них вообще отправили конверт дальше, 64 добрались до цели — 29 процентов. Медиана — пять посредников, среднее — 5,2. Бостонские цепочки приходили за 4,4 посредника, небрасские — за 5,7, и разница статистически значима: география работает.
Куда интереснее то, как письма приходили. Все 64 дошедших конверта прошли через 26 человек. Шестнадцать из них — четверть всех успехов — передал брокеру один и тот же Джейкобс, торговец одеждой из Шэрона. Ещё десять прошли через Джонса, пять через Брауна, оба из брокерской конторы.
48 процентов всех дошедших цепочек закрыли три человека. Милгрэм писал, что для брокера это стало «изрядным сюрпризом и даже шоком»: выяснилось, что его связь с миром держится на лавочнике из городка и двух коллегах. Бюджет всего мероприятия по бумагам из архива — 680 долларов.
Кляйнфельд пришла в архив не разоблачать. Она хотела повторить эксперимент в интернет-эпоху и для этого искала, как именно выглядел конверт. А нашла другое.
Во-первых, ту самую рукопись с тремя дошедшими письмами из шестидесяти. Во-вторых — объявление, по которому набирали участников в Канзасе: оно было рассчитано на общительных людей, гордящихся своими связями, и на представительную выборку походило мало. В-третьих — бюджетную строку о покупке адресных списков: люди, чьё имя продаётся, в среднем богаче и связаннее. Оба ключевых исследования набирали стартовых среди тех, у кого социального капитала заведомо больше среднего.
Дальше — систематический результат. Исследование Бек и Кадаманьяни 1968 года (нигде не опубликованное) на 151 добровольце из Крестлайна, Огайо: успех ниже 18 процентов, и ни один отправитель с низким доходом не смог дотянуться до цели с другим доходом. Работа Корте и Милгрэма 1970 года про расовую границу: из 270 цепочек, направленных белыми стартовыми к афроамериканским целям в Нью-Йорке, прошло 13 процентов, а к белым целям — 33. Лин с коллегами в 1978-м: 596 пакетов, 375 переслано, 112 дошло (30 процентов), и вывод — коммуникация почти не переходит расовую границу. Кляйнфельд специально искала работы, где эксперимент выходил бы за пределы одного города: нашла два таких повторения, и одно из них делал сам Милгрэм.
Единственное исключение — исследование Гио 1976 года в Монреале с успехом 85 процентов, но там, во-первых, звонили по телефону, а не писали, а во-вторых, цепочку после отказа перезапускали с предыдущего звена. Так измеряли скорее терпение администратора, чем свойства сети.
Почему же тогда в «шесть рукопожатий» верят все? Кляйнфельд задавала этот вопрос людям и получила три повторяющихся ответа. Ощущение безопасности — «страшно жить, приятно думать, что мы все держимся за руки». Религиозная трактовка: встретил человека из прошлого — значит, так задумано.
Третье — полное непонимание математики совпадений: один её собеседник радостно рассказывал, как встретил одноклассницу в поезде в Бельгии, и лишь потом признался, что столкнулся с ней же ещё и в отделении American Express в Риме, и в Париже. И ещё одна путаница, на которую она указывает: «какова вероятность, что у двух случайных людей есть общий знакомый» — это не то же самое, что «какова вероятность, что вы за жизнь встретите хоть кого-нибудь из прошлого». Вторая вероятность совсем не мала и никакого малого мира не требует.
Итог Кляйнфельд формулирует без академической вежливости: судя по эмпирике, мы живём не в изящном математическом узоре, где случайный коннектор сшивает всех со всеми, а в «миске комковатой овсянки».
Фраза, которую все цитируют, родилась в театре. В 1990 году Джон Гуар выпустил пьесу «Шесть степеней разделения»: премьера на Офф-Бродвее в мае, переезд на Бродвей в ноябре, 485 спектаклей, номинации на Пулитцера и «Тони». Оуиза, хозяйка квартиры на Центральном парке, произносит: «Я где-то читала, что все на планете разделены всего шестью другими людьми... Президент Соединённых Штатов. Гондольер в Венеции. Подставьте имена… Но чтобы найти нужных шесть человек».
Тоже неплохой сюжет: пьеса выросла из криминальной истории. В октябре 1983 года в квартиру Ингер и Осборна Эллиоттов в Нью-Йорке явился молодой человек по имени Дэвид Хэмптон, выдававший себя за сына Сиднея Пуатье. Его пустили переночевать, а утром хозяйка обнаружила гостя в постели с другим мужчиной и вызвала полицию. Гуару историю пересказали знакомые, и через семь лет она стала пьесой. Хэмптон пытался отсудить у драматурга долю прибыли как реальный прототип — безуспешно; умер в 2003-м.
Дальше число пошло по культуре вниз по течению. В 1994-м трое студентов колледжа Олбрайт в Пенсильвании придумали игру «Шесть степеней Кевина Бэкона» — свести любого актёра с Бэконом за шесть фильмов (по легенде, идея пришла во время просмотра «Footloose»). В 1997-м Эндрю Вайнрайх запустил SixDegrees.com — соцсеть, названную прямо по этой концепции: она позволяла писать людям первого, второго и третьего круга и видеть свою связь с любым пользователем. К 1999-му там было 3,5 миллиона полностью зарегистрированных, компанию купили за 125 миллионов долларов, а 30 декабря 2000 года сайт закрыли. Одна из первых в мире соцсетей носила имя числа, которое к тому моменту никто так и не измерил.
Математики подхватили тему позже и с другой стороны. В 1998 году Дункан Уоттс и Стивен Строгац показали в Nature, что достаточно добавить к регулярной решётке немного случайных длинных связей, чтобы расстояния в ней резко упали при сохранении высокой кластеризации. Заодно это объясняло, почему «малый мир» встречается и в нейронной сети червя, и в энергосистеме США.
А в 2000-м Джон Кляйнберг разделил два вопроса, которые до него слипались. Первый: существуют ли в сети короткие пути. Второй: может ли кто-то их найти, располагая только локальной информацией.
Ответ на второй оказался неприятным. В модели Уоттса—Строгаца короткие пути есть, но найти их, опираясь только на локальные связи, не может никакой алгоритм: ожидаемое время доставки растёт как n в степени две трети. Единственное распределение длинных связей, при котором жадная стратегия «пиши тому, кто ближе всех к цели» работает, — обратно-квадратичное; в таком случае доставка занимает время порядка логарифма в квадрате. В решётке размерности k навигация работает тогда и только тогда, когда показатель распределения равен этой самой k. Тонкость в том, что мера эта не о диаметре сети: короткие пути в изобилии, но без подсказок о геометрии их не найти.
Кляйнберг, кстати, цитирует Милгрэма как первоисточник интуиции: «Географическое движение конверта из Небраски в Массачусетс поразительно — с каждым новым человеком в цепочке происходит прогрессивное сжатие к району цели».
Экспериментально это подтвердили в 2003-м. Питер Доддс, Роби Мухамад и тот же Уоттс открыли сайт, на который зарегистрировались 98 847 человек; около четверти из них довели дело до запуска цепочки. В итоге — данные по 61 168 участникам из 166 стран и 24 163 отдельные цепочки. До целей дошли 384, то есть около 1,6 процента.
Отсев на каждом следующем шаге — около 63 процентов, на первом — все 75, и меньше 0,3 процента отсеявшихся сказали, что не нашли подходящего адресата: остальные просто не стали. Пересчитав распределение на «идеальные» условия без отсева, авторы получили медиану в 5 шагов для пар внутри одной страны и 7 для пар из разных. Это и есть самая честная версия «шести рукопожатий»: модельная оценка с поправкой на то, что люди бросают игру.
Дальше пошли большие графы. Лесковец и Хорвитц в 2008-м обработали месяц логов Microsoft Messenger: 30 миллиардов разговоров, 240 миллионов человек, граф на 180 миллионов узлов и 1,3 миллиарда связей, средняя длина пути — 6,6. Facebook в 2011-м посчитал среднюю дистанцию по 721 миллиону пользователей и 69 миллиардам дружб: 4,74. В 2016-м, на 1,59 миллиарда пользователей, — 4,57.
Тут начинается арифметическая путаница, которая хорошо показывает, как рождаются «факты». Те же 4,74 — это расстояние, то есть 3,74 посредника. В прессе и в таблицах Википедии фигурирует 4,74, а в блоге Facebook и в самой статье — 3,74 степени; за 2016 год в той же таблице стоит 4,57, хотя сам блог даёт 3,57. Два соглашения о счёте живут в одной колонке. Подобное расхождение есть и вокруг колумбийского e-mail-эксперимента: в научной статье — 18 целей в 13 странах, в Википедии — 19 целей в 157 странах. Обе цифры ходят по свету как равноправные.
И здесь картина переворачивается. Все эти большие числа — про граф, а не про навигацию. В 2014-м венгерская группа (что символично: страна Каринти) прогнала жадную маршрутизацию Кляйнберга по графу геолоцированных твитов — 5,8 миллиона узлов, 122 миллиона рёбер, 4 миллиона маршрутов. Средняя реальная дистанция между пользователями — 4,95 шага. До района цели сообщение доходит за 3–6 шагов. А до конкретного адресата — примерно в 20 процентах случаев. Один из примеров в статье: маршрут из Уичито в Бостон.
Алгоритм проскакивает полстраны за несколько шагов и дальше 90 процентов времени кружит по окрестностям цели, не в силах найти последний шаг. Милгрэм объяснял свои 29 процентов тем, что люди ленились; венгры предлагают второе объяснение — сеть просто не навигируется на городских расстояниях.
Число шесть не измерено ни в одной работе.
У него есть литературный прадед — выдумка сатирика, который сам не знал, пять звеньев он имеет в виду или шесть, — и театральный отец, драматург, приписавший идею Маркони. Всё, что действительно измерялось в экспериментах, относится к другим величинам: как быстро распадаются цепочки, кто оказывается на предпоследнем звене и как социальные барьеры — класс и раса — режут сеть на части. Про длину пути корректная формулировка звучит так: 5–7 шагов в модели с поправкой на отсев и 4–6 в больших графах, при том что сам путь никто изнутри сети пройти не может.
Разделение, которое придумал Кляйнберг, и есть ответ на исходный вопрос. Мир мал как граф и почти не навигируем как маршрут. Шесть рукопожатий — не про то, как далеко до нужного человека, а про то, что расстояние в графе и дорога, по которой можно пройти, — разные вещи. Число, которое все знают, описывает первую, а живём мы во второй.
Остаётся деталь, с которой всё началось. В коробке 48 Йельской библиотеки лежит рукопись, где из шестидесяти конвертов дошли три. Милгрэм её не опубликовал, а анекдот про четыре дня — опубликовал.